אביב, שם נתפרסם כמומחה למחלות עצבים. בניו של משה הם: אהרן איינהורן , סופר ידוע ומעורכי ה"היינט" בוורשה, אשר גססה במידנק, ויוסף איסר איינהורן , חקלאי ומראשוני המורים של מקוה ישראל, מחבר מספר ספרים על חקלאות ואנטומיה).
סבו ר' חיים עוזר , ובנו הבכור של צבי הירש, היה הראשון להשתקע בוולקוביסק, ולו ששה בנים ושלוש בנית: רבקה-עלקע, יוסף-איסר , (רופא צבאי במוסקבה), שמואל, שאול-זלמן, בלומה, קדיש בנימין, יצחק-זליג (מהנדס וממציא), צביה, וצבי הירש (אביו של מ. א.). רבקה-עלקע נישאה לר' דוד שלמה גרודזנסקי (רב איוויע), ובנם הוא הגאון המפורסם ר' חיים עוזר גרודזנסקי מוילנה . אחותו של ר' חיים עוזר נישאה לר' יצחק קוסובסקי (רבה של וולקוביסק, ולאחר מכן, רבה הראשי של איחוד בתי-הכנסת ביוהנסבורג) ; בניהם שמואל דוד וחיים קוסובסקי-שחור , הם עורכי-דין בתל-אביב. הבן השלישי, מיכאל , שימש לאחר מותו של אביו כרבה של יוהנסבורג, ונפטר בשנת תשכ"ד (1964). הוא ואביו הובאו לקבורה בתל-אביב. ישיבת בני עקיבא ''נחל יצחק" בנחלים בישראל, נקראת על שם הרב יצחק קוסובסקי. קדיש-בנימין היה רופא, ושימש זמן-מה. כרב ממשלתי בוולקוביסק. בנו הוא דוד איינהורן, המשורר האידי המפורסם.
אביו היה בנו הצעיר של ר' חיים עוזר , שהיה בעל בית-מרקחת בוולקוביסק. היה ידוע בשם "הירשל דער אפטייקער". אמו, מיכלה , בתו של הסוחר הידוע חיים לייב קאגאן מלידה. משה איינהורן הוא הששי מתוך שבעה ילדים - שמואל, ליזה, עוזר, רוזה, דורה, משח ופולה. שמואל מת בגיל חמש ; ליזה נישאה לשמשון חאראך והשתקע בשנות השלושים בארץ ישראל, שם נפטרה בשנת 1946; עוזר (אוסקר) נרצח ע"י הנאצים בשנת 1944 ; רוזה איינהורן פשניצקי ( רופאת שיניים), נרצחה עם בתה, דורה, באושיביץ בשנת 1943 ;דורה (רופאת שיניים), מתה בגיל 22 ממחלת טיפוס בשנת 1919 ; פולה איינהורן יאנובסקי , נרצחה ע"י הנאצים יחד עם כל בני משפחתה בטרבלינקה בשנת תש'יב (1942).
משה קיבל חנוך מסורתי ב"חדר" בוולקוביסק, ולאחר מכן למד בבית הספר הריאלי המקומי. בביתספר זה למד גם אליהו גולומב (ראש ההגנה בארץ). שהיה ראשון ליוצאי וולקוביסק (בשנת 1909) ללמוד בגימנסיה "הרצליה" בתל-אביב (שימש מופת ומורהדרך לנוער הוולקוביסקאי),.
לאחר שהשלטונות סגרו את בית-הספר הריאלי בוולקוביסק, נתנו הוריו את הסכמתם שיסע ללמוד בגימנסיה "הרצליה", שהועברה אז מיפו (מול המושבה הגרמנית) לתל-אביב.